Реактивное движение и полеты в Космос

Уравнение Мещерского и формула Циолковского.

Реактивное движение это движение за счет силы отдачи. Подобное движения совершает пушка в момент выстрела, шланг со свободно изливающейся сильной струей, кальмары в море за счет выброса воды и т.д. В основе всех этих примеров движения лежат III закон Ньютона и закон сохранения импульса. Воспользуемся последним, чтобы получить выражение для реактивной силы, а затем важные следствия из него.

Возьмем некоторое тело массой M, которое движется со скоростью v и отталкивает от себя в противоположном направлении малую массу ∆m с относительной скоростью u. Запишем для тела и малой массы закон сохранения импульса до отталкивания и после:

где v₁ – абсолютная скорость малой массы после отталкивания, равная v₁ = v — u. Перепишем уравнение (1) в виде

В уравнении (2) третье слагаемое является малой величиной второго порядка по сравнению остальными величинами. По этой причине для малых значений ∆m и ∆v ей можно пренебречь. В результате уравнение (2) примет вид:

Разделим (3) на ∆t – промежуток времени, за который выброшена масса ∆m:

и перейдем в (4) к условию ∆t → 0. При таком переходе приращения перейдут в дифференциалы и уравнение (5) приобретет вид:

где µ = dm/dt — расход – количество массы отделенной массы в единицу времени, а F_r – реактивная сила. Полученное выражение является II законом Ньютона для реактивного движения. Масса, входящая в него зависит от времени, так как µ = — dM/dt. Выражение (4) часто называется уравнением Мещерского по имени механика впервые его получившего.

При действии внешней силы F к правой части уравнения Мещерского добавляется эта сила, и оно принимает вид

Как видно из записи F_r , реактивная сила зависит от расхода и скорости отделения (истечения) массы. В случае ракетных двигателей скорость выброса равна скорости истечения струи.

Рассмотрим ракету, которая движется в свободном пространстве при действии только реактивной силы. Запишем его в виде

разделим переменные и приведем к виду удобному для интегрирования:

В итоге получим знаменитую формулу Циолковского:

здесь M₀ – начальная масса ракеты, М – конечная. Полученная формула лежит в основе расчета скоростей, которые могут приобрести ракеты на разном виде топлива, расходе и отношении масс.

Рассмотрим теперь задачу о зависании ракеты над поверхностью Земли (нетрудно распространить это условие на другие небесные тела). В случае зависания скорость и ускорение ракеты равны нулю и реактивная сила должна скомпенсировать действие силы тяжести, то есть

Интегрируя это уравнение, получим простое соотношение, связывающее массу ракеты со временем зависания:

После двух приведенных примеров несложно решить задачу со взлетом ракеты в поле тяжести Земли. В этом случае уравнение Мещерского выглядит так:

Перепишем его в виде

или

Интегрируя это уравнение, найдем:

Полученная формула хорошо отражает принцип суперпозиции сил. В правой части два слагаемых. Первое отвечает за реактивную силу, второе – за силу земного притяжения.

Первая и вторая космическая скорости, геостационарные орбиты.

Циолковский получил свою знаменитую формулу, когда занимался теорией полета человека в космос. Теория космических полетов помогла ему найти условия, при которых станет возможным запуск искусственного спутника Земли – аппарата, который может облетать Землю по круговой траектории на высотах порядка несколько сотен километров. Для того чтобы такой полет стал возможен спутник должен двигаться с первой космической скоростью по круговой орбите при действии единственной силы — силы тяготения. Запишем II закон Ньютона для этого случая:

здесь R – радиус Земли, v_I – скорость орбитального движения спутника. Из приведенного уравнения следует, что

Подставив сюда значения ускорения свободного падения на уровне Земли и радиус Земли, найдем, что первая космическая скорость равна 7,9 км/c.

Циолковский также нашел вторую космическую скорость, которая нужна космическому кораблю, чтобы выйти за пределы действия силы тяготения Земли. При этом весь запас его кинетической энергии пойдет на совершение работы против силы тяготения Земли. В случае чисто радиального движения эта работа равна интегралу

здесь γ – постоянная тяготения, верхний предел интегрирования равен r = ∞, нижний радиусу Земли R – радиус Земли. Выражение, стоящее под интегралом – элементарная работа на бесконечно малом участке пути dr. Интегрируя, найдем

Приравнивая эту работу кинетической энергии тела, легко найдем вторую космическую скорость

Как видно из полученного выражения первая и вторая космические скорости связаны соотношением:

Отсюда находим значение второй космической скорости 11,2 км/c.

Большое значение в современной космонавтике и передачи информации играет так называемые геостационарные орбиты. На этих орбитах период обращения космического аппарата равен 24 часам или суткам. Радиус этой орбиты определяется соотношением 2πr_gs = vT, здесь T – период времени, равный суткам, v – скорость движения спутника на геостационарной орбите, равная

(при написании этой формулы использована зависимость первой космической скорости от расстояния до центра Земли). В итоге получим

Расчеты дают численное значение Rγ = 35786 км.

Реактивные поезда или многоступенчатые ракеты.

Простые расчеты показывают, что при скорости истечения 3 км/с невозможно достичь первой космической скорости для реальных распределений массы ракеты на топливо — М_Т, конструкцию (масса топливных баков, двигателя и соединений) — М_К и полезный вес — М_П. Так при параметре λ = М_К/(M₀ — М_П)=0,1 скорость ракеты будет меньше 6,9 км/с даже при М_П= 0 . Это означает, что груз, ускоренный до такой скорости не сможет стать искусственным спутником Земли. С учетом действия сил сопротивления со стороны атмосферного воздуха ситуация еще больше ухудшается. Решение данной проблемы нашел Циолковский, предложивший создавать многоступенчатые ракеты, в которых отработанные части отделяются от ракеты, не заставляя ее нести ненужную нагрузку. При таком конструктивном подходе можно получить скорости превосходящие не только первую, но и вторую космическую. Циолковский также предложил три схемы расположения многоступенчатых ракет: продольную, поперечную и комбинированную. При продольной ступени ракеты располагаются друг за другом, при поперечной – вокруг центральной ступени (рис.1). Часто встречается комбинация двух основных. Можно показать, что оптимальными являются трехступенчатые ракеты. Они позволяют выводить максимальный вес при одних и тех полных массах и полезной нагрузке.

В современной ракетной технике принято создавать тягу, превышающую при подъеме вес ракеты в 1,25 раза. Нетрудно рассчитать расход массы µ топлива для подобных ракет. Он будет равен µ = 1,25 Мg/u = 1,25ˑ9,8Мˑ60/3000 = 0,24 М/мин. Приведем оценку расхода для ракеты массой 1000 т. Легко получить, что она будет составлять 240 т/мин или 4 т/c. Из приведенной цифры следует, что камеры ракетного испытывают колоссальные силовые нагрузки при сгорании большого количества топлива, что требует повышенных требований к прочности и надежности.

Рис.1. Различные варианты размещения ступеней ракеты.

Конструкции ракетных двигателей.

Принципы действия реактивных двигателей одинаковы. Реактивная струя, ускоренная за счет действия разных физических механизмов вылетает из двигателя, сообщая ему импульс отдачи. В зависимости от того какого вида энергия преобразуется в кинетическую энергию реактивной струи существующие двигатели делятся на химические, ядерные, тепловые и плазменные. Основным типом современных ракетных двигателей являются химические, в которых энергия химических реакций переходит тепловую энергию продуктов реакций. Скорость истечения струи в таких двигателях пропорционально корню квадратному из температуры, поэтому необходимы химические смеси с большой теплотой реакций и температурой горения. К таким смесям можно отнести:

жидкий кислород + жидкий керосин;
жидкий водород + жидкий кислород;
жидкий метан + жидкий кислород;
диметилгидрозин (гептил – очень токсичное топливо) + тетраоксид азота;
твердотопливные смеси на основе перхлоритов аммония.

Как видно из приведенного списка в большинстве из них фигурирует кислород, который является сильным окислителем или поджигателем для топлива. Конструкция жидкостных ракетных двигателей достаточно стандартна. На рис.2 и рис.3 представлены основные узлы ракетного двигателя и фотография российского двигателя РД – 171МВ. Как видно из первого рисунка основными узлами двигателя являются емкости для горючего и окислителя, камера сгорания, сопло и вспомогательные агрегаты. Камеры сгорания изготовляются из жаропрочных материалов из-за высокой температуры горения химической смеси.

Рис.2. Принципиальная конструкция жидкостного ракетного двигателя.

Очень важную роль в ракетном двигателе играет профилированное сопло Лаваля. В сопле происходит сверхрасширение газовой струи, в результате чего в самом узком сечении струи поток становится звуковым, а после нее сверхзвуковым. В результате возрастает скорость истечения и с ней реактивная сила.

Рис.3. Внешний вид российского ракетного двигателя РД-171 МВ.

В качестве справки приведем силы тяги самых мощных ракетных двигателей: боковые твердотопливные ускорители для Space Launch для доставки грузов к планетам – 1600 тс; боковые твердотопливные ускорители Спейс Шаттл – 1400 тс; реактивные двигатели

РД – 171 – 806 тс.

Как показывают приведенные цифры, твердотопливные двигатели являются самыми мощными. Еще одно их преимущество – простота конструкции (рис. 4). В этих двигателях и топливо, и окислитель находятся в виде твердотопливной смеси, что очень удобно для хранения.

Рис. 4. Конструкция твердотопливного ракетного двигателя: 1- воспламенитель, 2 – топливный заряд, 3 – корпус, 4 – сопло.

Ядерные двигатели.

Будущие межпланетные полеты обычно связывают ядерными ракетными двигателями. У таких двигателей есть два важных преимущества: большой ресурс работы и большая сила тяги. Кроме того, ядерные двигатели могут быть элементами всей энергетической системы межпланетной ракеты. Существует несколько вариантов конструкций таких двигателей. Все они, так или иначе, будут основаны на следующих принципах работы (рис.5).

Рис.5. Схема работы твердофазного ядерного ракетного двигателя

Разогрев рабочего тела двигателя происходит в активной зоне атомного реактора. Проходя эту зону рабочее тело (в данной схеме — жидкий водород) попадает в сопло Лаваля и со сверхзвуковой скоростью истекает в космическое пространство. Регулировка мощности двигателя обеспечивается управляющими стержнями атомного котла и расходом жидкого водорода, поступающего в котел. Основной недостаток ядерных ракетных двигателей – необходимость мощной радиационной защиты экипажа. Это значительно утяжеляет вес конструкции этих двигателей.

Описанные химические и ядерные двигатели являются маршевыми двигателями, обеспечивающими разгон и торможение космических аппаратов. Для коррекции орбиты и ориентации космических аппаратов в пространстве чаще используются плазменные двигатели.

Самые знаменитые ракеты и космические аппараты.

Галерея знаменитых космических систем весьма обширна. Остановимся на тех, что ознаменовались настоящим космическим прорывом. Откроем список немецкой ракетой Фау-2.

Это первая в мире ракета, достигшая космической высоты. В 1944 году ракета поднялась на высоту 188 км. Стартовая масса до 14,5 тонн, длина 14 м, диаметр – 1,65 м. Разработана для использования в военных целей.
Советская ракета-носитель Р-7, осуществившая запуск 4 ноября 1957 года первого в мире искусственного спутника Земли (рис.6) массой 83,6 кг на эллиптическую орбиту с минимальной высотой 215 км и максимальной 939 км. Разные модификации Р-7 в зависимости от задач имели длину от 30 до 50 м, массу от 250 до 313 тонн, максимальный диаметр 10,3 м (рис.7). В ракете использована пакетная схема размещения ступеней и стартовых ускорителей. Модификации Р-7 легли в основу космических систем «Полет», «Луна», «Восток», «Восход», «Молния» и «Союз», а также первого полета человека в космос Ю. Гагарина.

Рис. 8. Юрий Гагарин — первый человек в космосе.

Программа «Аполлон» — программа пилотируемых полета на Луну с высадкой астронавтов на поверхность спутника Земли. В рамках программы осуществлено 11 пилотируемых полетов с шестью высадками на Луну. Первым человеком на Луне стал астронавт Нил Армстронг (рис.9) Для реализации программы были разработаны лунный модуль, корабль «Аполлон» и сверхтяжелая трехступенчатая ракета-носитель «Сатурн» (рис.10). Характеристики ракеты-носителя: длина – 110,6 м, стартовая масса – 2290 тонн, тяга – 34343 кН, полезная нагрузка – 140 тонн, горючее – жидкий водород, окислитель – жидкий кислород.

Рис.9. Экипаж «Аполлона-11». Нил Армстронг слева.

Рис.10. Ракета-носитель «Сатурн-5» (слева), корабль «Аполлон» и Лунный модуль (справа).

Международная космическая станция. В создании этой станции на орбите принимали участие ведущие космические державы: США, Россия, Япония, Канада и страны Евросоюза – Германия, Франция, Италия и другие. В настоящее время масса станции составляет 417 тонн, длина – 109 м, ширина – 73 м, высота – 27 м, объем живых отсеков – 916 м³, высота орбиты – 337 – 430 км. Эксплуатация станции началась в 1998 г. и будет продолжаться до 2024 г. В основу станции заложен модульный принцип. В настоящее время на ней 15 основных модулей, среди них российские -«Заря», «Звезда», «Пирс», «Поиск», «Рассвет»; американские — «Юнити», «Дестини», «Квест», «Гармония», «Транквилити», «Купола», «Леонардо»; европейский «Коламбус»; японский «Кибо». Модули служат для решения задач эксплуатации станции, проведения научных исследований, наблюдений за космосом и Землей, обеспечение жизнедеятельности космонавтов, энергоснабжения станции, осуществление стыковки с прибывающими кораблями. Общая фотография станции приведена на рис. 11.

Космический комплекс «Спейс Шаттл».

Американский многоразовый космический транспортный комплекс. Состоял из возвращаемого ракетоплана «Орбитер», твердотопливных ускорителей и топливного бака (рис.12). Оригинальность конструкции «Спейс Шаттлов» состояла в том, что двигатели ракетоплана использовались и для самостоятельного движения ракетоплана, и для их использования на марше. После того, как топливные баки опустошались, они сбрасывались и дальнейшие маневры «Обсервер» проводил за счет запасов собственного топлива. Впечатляют характеристики системы «Спейс Шаттл»: стартовая масса – 2030 тонн, длина – 56 м, диаметр – 8,69 м, полезная нагрузка — 24,4 т. В главных двигателях в качестве топлива использовались жидкий водород и кислород. Первый полет «Шаттлов» осуществился в 1969 году. Всего было Осуществлено 135 запусков. Два из них на кораблях «Челленджер» и «Колумбия» закончились катастрофами в 1986 и 2003 годах.

Рис. 12. Основные элементы системы «Спейс Шаттл».

Космический комплекс «Энергия — «Буран». Проект «Энергия» — «Буран» был задуман в СССР как ответ на американский комплекс «Спейс Шаттл». Комплекс состоял из сверхмощной ракеты-носителя «Энергия», возвращаемого ракетоплана «Буран» и стартовых твердотопливных ускорителей. По основным техническим характеристикам комплекс «Энергия – Буран» превосходил американский «Спейс Шаттл». Его масса составляла 2400 т, длина – 59 м, диаметр – 16 м, полезная нагрузка – 100 т. Двигатель первой ступени работал на керосине – жидком кислороде, второй – на жидком водороде и жидком кислороде. Состоялось два запуска комплекса. Один в 1987, другой в 1988 годах. Во втором запуске ракетоплан «Буран» совершил мягкую посадку на шасси в автоматическом режиме.
Межпланетные космические аппараты. Вершиной развития ракетной техники являются космические аппараты, предназначенные для полетов к планетам и планетоидам Солнечной системы и их исследованиям. Перечислим самые известные космические программы полета в дальний космос. Под дальним будем считать и Луну, так как полет на нее значительно сложнее и дороже, чем вокруг Земли.

1. Советский аппарат «Луна 2». Осуществил первую мягкую посадку на Луну в 1966 г. Доставила на Луну автоматизированную лунную станцию. Передала на Землю первые изображения лунной поверхности.

Рис.13. Советский космический комплекс «Энергия – Буран».

2. Советский космический аппарат «Венера-7» первым совершил мягкую посадку на Венеру в 1970 г. Дал возможность определить температурный режим атмосферы планеты, в том числе температуру и давление на ее поверхности — 475° Цельсия и 90 атмосфер. Первые снимки планеты сделала «Венера-9» в 1975 г.

3. Американский космический аппарат «Викинг-1» совершил посадку на Марс в 1976 г. «Викинг-1», как и чуть позже «Викинг-2» передал на Землю многочисленные панорамы поверхности Марса, провел многочисленные эксперименты по исследованию минерального состава почвы и признаков биологической жизни (безрезультатно).

4. Космический аппарат «Мессенджер» достиг в 2011 году орбиты Меркурия. Передал на Землю тысячи космических снимков планеты, которые позволили построить 3Д-карту Меркурия, обнаружил на полюсах планеты лед, провел измерение магнитного поля планеты.

Рис. 14. Фотография Большого красного пятна Юпитера, сделанная «Вояджером-1.

5. Американские аппараты «Вояджер-1» и «Вояджер-2» стали первопроходцами исследования Сатурна и Юпитера и его спутников Европы и Ганимеда. Они были оснащены специальными телевизионными камерами, спектрометрами, поляриметрами, магнитометрами, детекторами плазмы и космических частиц. Они передали большой научный материал о строении верхних слоев атмосфер планет и их составе. Благодаря данным по планетоидам Европе и Ганимеду были высказаны предположения о наличии на них жидких океанов под поверхностной ледяной коркой. «Вояджер-2» продолжил свой полет к Урану и Нептуну. Пролетая мимо этих планет, аппарат сделал и передал на Землю тысячи снимков, которые позволили изучить кольца планет и их спутники. У Урана было открыто 11 новых спутников, а на спутнике Нептуна – Тритоне – обнаружены функционирующие гейзеры. После исследования Урана и Нептуна оба «Вояджера» продолжили полет к границам Солнечной системы. Запущенные в 1977 году, они продолжают функционировать до сих пор и передавать полезную информацию на Землю. «Вояджер-1» стал первым космическим аппаратом, достигшим межзвездной среды.

6. Миссия «Кассини» (США, Европейское космическое агентство, Италия) была направлена на детальное изучение Сатурна, его колец и окрестностей. Аппарат «Кассини», запущенный в 1997 г. передал на Землю массу фотоснимков Сатурна, Юпитера, их спутников, тонкой структуры колец Сатурна, необычные образования на его спутнике Титане – настоящие метановые и этановые озера размером с Каспийское море. «Кассини» также вышел на орбиту вокруг Сатурна и продолжал исследования в рамках продления своей миссии. В 2005 году от «Кассини» отделился модуль «Гюйгенс» и совершил мягкую посадку на спутнике Титан. За время существования «Гюйгенс» передал на «Кассини», а тот на Землю, большой объем данных научного характера, полученных на измерительном оборудовании аппарата.

7. Аппарат «Новые горизонты» запущен в 2006 г. для исследования дальней карликовой планеты Солнечной системы «Плутона» и его естественного спутника Харона. В ходе сближения с Плутоном аппарат сделал множества снимков рельефа планет, провел изучение геологии и морфологии их поверхностей, построил карты температур, которые позволили сделать новые вывод о строении Плутона и Харона. Аппарат также проводил наблюдения за небесными телами, входящими в пояс Койпера.

Рис.15.Фотографиия Сатурна и тонкой структуры его колец, сделанные Кассини.

Рис.16. Фотография поверхности Энцелада с Кассини.

Выбор оптимальных траекторий полетов к другим планетам.

У всех космических ракетных систем есть один общий недостаток – они имеют ограниченный запас топлива и, следовательно, ресурс действия. Со временем по мере освоения космоса эта проблема будет решаться путем создания промежуточных баз на планетах, где будет налажено производство подходящих топлив для ракет. Эта перспективы далекого будущего, поэтому современная межпланетная космонавтика делает ставку на выбор оптимальных маршрутов полетов на планеты. При выборе таких маршрутов учитывается взаимный характер движения Земли и намеченной планеты, влияние на полет Солнца и других небесных тел, находящихся в зоне маршрута. Рассмотрим наиболее апробированные подходы выбора оптимальных маршрутов.

Переходы Гомана. Переходы Гомана использованы на использовании переходной орбиты. Гоман показал, что наименьшей по затратам энергии переходной орбитой является эллиптическая орбита, касательная к начальной орбите и орбите назначения (рис. 17). Как видно из рис.17., перелет на нужную орбиту осуществляется в два этапа. Вначале корабль выводится на круговую орбиту Земли, затем он ускоряется для того, чтобы выйти на эллиптическую орбиту, которая касается в перигелии орбиты Земли, а в афелии – орбиты планеты прилета. Момент старта на эллиптической орбите нужно начинать в такой момент времени, чтобы космический корабль и планета в момент прилета оказались практически рядом (рис.18). Как правило, гомановский перелет занимает время, близкое к половине периода обращения внешней планеты.

Рис.17. Геометрия перехода Гомана с орбиты 1 на орбиту 3.

Гравитационная праща или гравитационный маневр. Данный вариант перелета использует эффект гравитационного действия на корабль гравитационного поля планет и планетоидов для изменения скорости корабля. Чаще всего в маневре используется третья планета, обычно, находящаяся между орбитами отправления и назначения, которая изменяет направление полёта космического аппарата. Общее время в пути за счёт изменения скорости и подправки направления значительно сокращается. Этот же эффект позволяет выиграть в массе полезного груза, доставляемого в конечную точку. На рис,13. показаны траектории космических аппаратов «Вояджер-1» и «Вояджер-2» подправленные гравитационным полем Юпитера. Как видно из рисунка траектории изменились очень сильно практически без использования двигателей аппаратов.

И в переходах Гомана, и при гравитационном маневре очень важна точность расчетов оптимальных траекторий. В них широко используются законы движения материальной точки в гравитационном поле для круговых и эллиптических траекторий. Рассмотрим, как это делается на трех типичных задачах из «Сборника задач по курсу общей физики, Механика» под редакцией И.А.Яковлева.

Рис. 19. Гравитационная эквилибристика «Вояджера-1» и «Вояджнра-2».

Задача 1. Спутник вращается по круговой орбите радиуса R = 3/2R_З (R_З— радиус Земли) и получает радиальный импульс, который сообщает ему дополнительную скорость V_r , направленную от центра Земли по радиусу (рис.20). Каково должно быть минимальное значение дополнительной скорости, чтобы спутник мог покинуть область земного притяжения?

Задача 2. Спутник запускается на круговую орбиту в два этапа: сначала вблизи поверхности Земли ему сообщают горизонтальную скорость и выводят на эллиптическую орбиту, перигей которой совпадает с точкой запуска (рис.21 слева), а апогей – с точкой на круговой орбите. В апогее ракетное устройство увеличивает скорость спутника и выводит его на круговую орбиту. Каковы должны быть начальная скорость запуска V₁ и увеличение скорости ∆V, чтобы вывести спутник на круговую орбиту радиуса R = 2R_З? Сопротивление воздуха не учитывать.

Рис. 21. Иллюстрации к задачам 2 (слева) и 3 (справа).

Задача 3. Легкий спутник, вращаясь по круговой орбите радиуса R = 2R_З , переходит на эллиптическую орбиту приземления, которая касается земной поверхности в точке, диаметрально противоположной точке начала спуска (рис.21 справа). Сколько времени продлится спуск по эллиптической орбите? Сопротивление атмосферы не учитывать.

Прежде чем приступать к решениям задач, сделаем небольшое теоретическое введение по законам орбитального движения. Начнем с движения материальной точки вокруг силового гравитационного центра. Движение такой точки хорошо описывает движение планет вокруг Солнца и характеризуется тремя законами Кеплера. Для решения приведенных задач нам понадобятся два закона – 1 и 3. Согласно первому закону Кеплера все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Пример эллиптической орбиты с фокусами F₁ и F₂ приведен на рис. 22.

Рис. 22. Эллиптическая орбита с основными параметрами.

Основными параметрами эллипса являются большая и малая оси (на рисунке они обозначены буквами a и b), перигей r_п и апогей r_а — расстояния от фокуса до самой близкой и самой удаленной точек траектории на большой оси, эксцентриситет — е, равный: е = (r_а — r_п)/(r_а + r_п) = 2а , причем r_п = а(1-е) и r_а = а(1 + е). На рисунке прописаны взаимные связи между этими величинами. Как показывает теоретический анализ движения планет в поле тяготения Солнца, эксцентриситет их орбит зависит от полной механической энергии планеты и ее момента импульса — L. Последняя величина характеризует роль импульса частицы во вращательном движении и определяется следующим образом: L = mrv_φ, где v_φ – азимутальная компонента скорости планеты, направленная по касательной к траектории. Вместе с радиальной компонентой v_r они определяют модуль скорости планеты

Полная механическая энергия планеты складывается из кинетической энергии радиального и азимутального движения и потенциальной энергии гравитационного взаимодействия:

В точках перигея и апогея радиальная скорость обращается в нуль и полная механическая энергия равна:

При движении в центральном поле, а поле гравитации является таким, выполняется закон сохранения момента импульса. Для точек перигея и апогея он будет выглядеть так:

Это соотношение дает связь между скоростями в точках перигея и апогея. Для этих точек выражение для полной механической энергии может быть упрощено с использованием II Ньютона и соотношений, связывающих радиусы кривизны эллипса в этих точках параметрами а и е:

здесь ρ_п и ρ_а — радиусы кривизны в перигее и апогее, е – эксцентриситет эллипса. В результате нетрудно получить важную рабочую формулу для эллиптических орбит:

Точно такое значение полная механическая энергия будет иметь во всех точках орбиты в силу закона сохранения ее в гравитационных полях. Для круговых орбит параметр a заменяется на радиус орбиты, и полная механическая энергия планеты равна

Теперь сформулируем третий закон Кеплера. Согласно ему квадраты обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей эллипсов

Величина периода обращения конкретной планеты равна:

Теперь у нас есть необходимый теоретический багаж, чтобы перейти к решению трех сформулированных выше задач.

Решение задачи 1.

Воспользуемся законом сохранения для решения этой задачи. На начальной орбите полная механическая энергия спутника равна

а его горизонтальная скорость

здесь м – масса спутника, М – масса Земли, v_I – первая космическая скорость Земли. Для того, чтобы спутник вышел за пределы действия гравитационного поля Земли, его полная механическая энергия должна равняться нулю. Запишем это условие для начальной точки ракеты.

здесь v₂— дополнительная радиальная скорость спутника. Из этого соотношения находим

здесь v_II – вторая космическая скорость.

Решение задачи 2.

Также как и задаче 1 используем для решения закон сохранения полной механической энергии спутника. На эллиптической орбите энергия спутника равняется потенциальной энергии и кинетической энергии, которую приобретает спутник дополнительно. Математически это условие можно записать так:

здесь а – большая полуось эллипса равная 3R₃/2. Подставляя это значение в формулу для энергии, найдем

На втором этапе маневра энергия спутника должна возрасти за счет кинетической энергии с тем, чтобы он смог перейти на круговую орбиту 2R₃. Записывая закон сохранения для этого случая будем иметь: