Астрозадача №7: Решение

  • Рассмотрим однородный трос космического лифта, закреплённого на геостационарной орбите. На этой орбите период обращения спутника равен суткам и сила тяжести равна центробежной силе инерции. Радиус этой орбиты определяется на основе II закона Ньютона:

где g0 — ускорение свободного падения, R — радиус Земли,  ω = 2π/T, T — период обращения. Отсюда легко найти выражение для радиуса геостационарной орбиты

На произвольно малый элемент троса mi будет действовать две силы: тяжести и инерции, возникающая из-за вращательного движения троса относительно Земли. Модуль силы тяжести равен:

где ri — радиальное расстояние до массы mi. Модуль центробежной силы инерции будет:

Суммарная сила равна:

где мы суммируем по всем элементарным массам. Эти массы выбираем одинаковыми, тогда можно записать mi = ρS(rgs -R)/N, здесь ρ — плотность материала троса, а S — его сечение. Тогда получим

Воспользуемся выражениями для средних значений:

где мы учли, что ri меняется от R до rgs. Окончательно получаем формулу для силы натяжения:

  • Максимальная сила натяжения троса имеет место в точке подвеса. Воспользуемся тем что ω2 = g0R2/rgs2 и перепишем формулу для силы натяжения

Прочностные свойства троса характеризует предельное напряжение pmax = F/S:

Подставляя значения плотности материалов в формулу, получим что pmaxсталь ≈ 480 ГПа, pmaxкевлар ≈ 90 ГПа, pmaxнанотр ≈ 60 ГПа. Сравнивая эти значения с предельной прочностью материалов приходим к выводу, что только гипотетический трос из нанотрубок может выдержать силу натяжения троса.

  • Оценим сечение троса из нанотрубок необходимое для удержания лифта массой 1000 т. Положим pнанотр ≈ 100 ГПа и воспользуемся тем что S⋅p=g0⋅m, тогда
  • Для того, чтобы космический лифт оставался на геостационарной орбите ему необходим противовес, расположенный выше геостационарной орбиты. Центробежная сила инерции, действующая на этот противовес, должна компенсировать действия силы тяжести противовеса и натяжения троса. В результате имеем баланс сил:

или

Построим график зависимости m(r), для этого примем r>rgs, ω=7.3⋅10-5 рад/с, ρ = 1 ⋅ 103 кг/м3 , S = 10-3 м2 :

  • Идея космического лифта возникла, как ответ на запрос, создать систему доставки грузов в космос, экологически чистую и дешевую. Оценим стоимость доставки одного килограмма полезного груза на геостационарную орбиту. Будем исходить из того, что КПД электродвигателей лифта составляет 80%. Для этого КПД затраты энергии будут равны E = 1/0.8 ⋅ (E2-E1), т.е.

где учтены вклады кинетической и потенциальной энергий в полную механическую энергию груза. Положим m=1 кг, тогда энергозатраты на доставку груза будут равны

Основной вклад в работу вносит первое слагаемой. Для оценки достаточно выбрать

E=7.8⋅107 Дж ≈ 20 кВт⋅ч. Стоимость 1 кВт⋅ч энергии в России составляет 4.53 рубля, в США — 0.13 доллара. Отсюда доставка 1 кг полезного груза обойдется 1-2 доллара. Стоимость доставки этого груза с помощью ракет составляет тысячи долларов.

  • Сила натяжения и напряжение троса возрастают с увеличением r и становятся максимальными на геостационарной орбите. Это указывает на то, что использование троса постоянного сечения не является оптимальным. Желательно использовать трос переменного сечения с постоянным по всей длине троса напряжением. Несложно получить нужную функциональную зависимость для этого случая. Рассмотрим небольшой элемент троса переменного сечения:

В условиях равновесия данного элемента выпишем соотношения

или

где учтено, что S(r) как функция r меняется очень мало на длине dr. В левой части изменение S необходимо учесть, так как напряжение p останется постоянным по всей длине троса. Разность p(S2-S1) можно представить как

Подставим это в выражение выше и получим

Интегрируя, получим выражение:

где S0 — площадь троса на нижнем конце. Окончательно:

Результаты участников можно посмотреть здесь.