Астрозадача №7: Космический лифт

Космический лифт это фантастическое сооружение, обеспечивающее доставку полезных грузов на геостационарную орбиту с помощью специальных лифтов. Эти лифты должны подниматься в космос по сверхпрочному тросу, соединяющему геостационарную базовую станцию с земной поверхностью. За счет синхронного вращения космического лифта и Земли возникает центробежная сила инерции, которая нарастает с высотой,  противодействуя силе тяжести:

где M и R — масса и радиус Земли, G — гравитационная постоянная и ω 2 = 2π/ T, T- период обращения Земли вокруг своей оси. На геостационарной орбите эти две силы сравниваются по величине, а выше уже доминирует сила инерции. В результате возможна ситуация, когда центробежная сила становится больше силы тяжести и трос космического лифта начинает работать на растяжение, обеспечивая устойчивость всей системы. 

Впервые идею космического лифта в 1895 году высказал Константин Циолковский. Спустя 65 лет красивое техническое решение космического лифта предложил советский инженер Юрий Арцутанов. В настоящее время наблюдается рост интереса специалистов по космической тематике к идее космического лифтинга в связи с появлением новых материалов для троса —  углеродных нанотрубок. Эти трубки обладают рекордной прочностью на разрыв и тросы, сплетенные из них, как показывают расчеты, могут выдержать предельные напряжения, характерные для реального космического лифта. Удастся ли с помощью нанотрубок или других наноматериалов создать трос нужной прочности, покажет время.

В качестве задачи вам требуется ответить на следующие вопросы:

  1. Чему равна сила натяжения, которую оказывает однородный троса плотностью ρ и сечением S на подвес на геостационарной орбите, если нижний конец троса на земле не закреплен. При решение учесть,  что трос представляет собой систему с распределенной массой. На каждый элемент троса действуют внешние силы, зависящие от положения элемента. Для получения аналитического решения нужно разбить трос на элементарные участки dr, найти силы, действующие на этот участок и затем найти результирующую с помощью интегрирования. Вместо интегрирования можно воспользоваться средними значениями. Для силы тяжести средняя сила пропорциональна величине 1/(r1r2), центробежная сила пропорциональна (r1+r2)/2. Здесь r1 и r2 – радиусы нижней и верхней точки троса относительно центра Земли, то есть в задаче выбираем r1 = R — радиус Земли и r2=rгс — радиус геостационарной орбиты.
  2. Найти напряжение (отношение силы натяжения к площади поперечного сечения) троса в точке подвеса (на геостационарной орбите). Рассчитать напряжение для трех материалов троса: сталь (ρ = 7.8 ⋅ 103 кг/м3), кевлар (ρ = 1.5 ⋅ 103 кг/м3) и нанотрубки (ρ = 1 ⋅ 103 кг/м3).  Сравнить полученные оценки с предельной прочностью материалов  и сделать вывод о возможности создания космического лифта, если для стали pпред = 0.9 ГПа, для кевлара pпред = 3 ГПа , для нанотрубок pпред = 100 ГПа.
  3. Найти минимальное сечение S троса из нанотрубок, необходимое для работы лифта с нагрузкой 1000 тонн.
  4. Обосновать необходимость дополнительного «противовеса» для лифта, расположенного выше геостационарной орбиты. Построить график зависимости положения противовеса массой М от радиального расстояния с учетом полной массы троса. 
  5. Рассчитать затраты на подъем 1 кг полезной массы на геостационарную базу лифта, считая что КПД лифта составляет 0.8. Сравнить полученную цифру со стоимостью доставки 1 кг на геостационарную орбиту с помощью современных ракет.
  6. Объяснить, почему однородный (одинаковой толщины на всей протяжённости) трос не является оптимальным решением для космического лифта. Найти закон изменения сечения троса космического в зависимости от радиального расстояния для случая постоянства напряжение по длине троса.*

* Дополнительный вопрос повышенной сложности