Астрозадача №10: Оптимизация трёхступенчатой ракеты

Формула Циолковского, на первый взгляд, позволяет легко достичь первой и второй космических скоростей для требуемой полезной массы. Действительно, из формулы Циолковского следует простое соотношение:

где m₀ — начальная масса ракеты, m_p — масса полезного груза, v — скорость движения ракеты, u — скорость истечения реактивной струи. Подставляя в эту формулу типичную скорость истечения u = 3 км/с легко получить требуемое отношение масс и для первой космической скорости v_I = 7.9 км/с, и для второй v_II = 11.2 км/с.

В реальности всё намного сложнее. И повинна в этом структурная масса ракеты. Даже в самой инновационной ракете структурная масса λ составляет 1/10 от полной массы ракеты. Это делает невозможным достижение первой космической скорости в одноступенчатых ракетах, структурная масса которых сохраняется до конца полёта. Чтобы это проверить подставим m_p = 0.1 m₀ в формулу Циолковского:

Эту проблему впервые увидел Циолковский и для её решения предложил конструкцию многоступенчатой ракеты, в которых структурная масса каждой ступени отделяется от ракеты после использования всего топлива ступени. Идеальным вариантом была ракета, в которой структурная масса сбрасывается непрерывно. В этом случае формула Циолковского принимает вид

Понятно, что реализовать такую ракеты невозможно, поэтому конструкторы пошли по пути проектирования двух и трёхступенчатых ракет.

Для лучшего понимания специфики проектирования трехступенчатых ракет предлагается решить следующую задачу:

1. Найти скорость полезного груза m_p после сбрасывания структурной массы третьей ступени. Записать аналитическое выражение для этой скорости v. Начальная массы m₀ = m_p + m₁ + m₂ + m₃ и постоянной λ = 0.1, где m₁, m₂, m₃ — массы ступеней.
2. Найти оптимальное распределение масс ступеней для сообщения полезному грузу скорости 10.5 км/с при скорости истечения 3 км/с и полезной массе 40 т.
3. Получить формулу Циолковского для ракеты, в которой структурная масса сбрасывается непрерывно, на основе закона сохранения импульса. *

* Дополнительный вопрос повышенной сложности