Астрозадача №10: Оптимизация трёхступенчатой ракеты

• В соответствии с классической формулой Циолковского скорость одноступенчатой ракеты определяется формулой:

Применим эту формулу для расчёта скорости движения полезного груза трёхступенчатой ракеты, считая, что после сгорания топлива очередной ступени отбрасывается структурная масса этой ступени. В результате получим:

здесь λ — параметр, характеризующий вес конструкции ступени. Из формулы выше получаем:

Из формулы видно, что скорость движения полезного груза сложным образом зависит от комбинации m₀, m_p, m₁, m₂, m₃ и параметра λ. К счастью, существует оптимальная комбинация этих величин, дающая нужную скорость v при заданной полезной нагрузке ракеты..

Для нахождения оптимальной комбинации m₀, m_p, m₁, m₂, m₃ при заданном λ введём новые величины:

Причём α₁ · α₂ · α₃ = m₀/m_p.

Тогда задача оптимизации трёхступенчатой ракеты сводится к задаче поиска оптимальных значений величин α1, α2, α3 при условии:

Анализ формулы показывает, что задача симметрична по отношению к α₁, α₂, α₃ (симметрична в смысле одинаковой функциональной зависимости). Это однозначно приводит к выводу, что оптимальное решение достигается, когда α₁ = α₂ = α₃ = α. Из этого условия и формулы следует, что

или

Вспоминаем, что произведение α₁ · α₂ · α₃ = m₀/m_p. Отсюда находим

• Для условий задачи v/u = 3.5 и λ = 0.1, тогда получаем отношение:

Отсюда следует, что α = 4. 25 и m₁ = α² (α -1) m_p , m₂ = α(α – 1)ˑm_p и m₃ = (α – 1) m_p. Если выбрать m_p = 40 т, тогда масса первой ступени получается ≈ 2360 т, масса второй ≈ 554 т, масса третьей ≈ 130 т. Сравним эти данные с параметром ракеты «Сатурн 5», которая доставила американских астрономов на Луну. Характеристики «Сатурн 5» m₀ = 2960 т, m₁ = 2150 т, m₂ = 496 т, m₃ = 53.5 т почти совпадают с рассчитанными нами. Отличие объясняется другим конструкционными особенностями «Сатурна 5», в котором лунный модуль использовал часть топлива третьей ступени и несколько другими значениями параметра λ.

В том, что полученные нами значения α₁ = α₂ = α₃ = α оптимальны убеждает простой анализ формулы для v/u. Увеличение или уменьшение любой из этих величин при сохранении m₀ приводит к уменьшению параметра v/u.

• Получим теперь модернизированную формулу Циолковского для случая когда структурная масса ракеты сбрасывается непрерывно. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса для двух моментов времени t и t + Δt:

В формуле правая часть даёт импульс ракеты в момент времени t, слагаемое в левой части m(t + Δt) v(t + Δt) — импульс оставшейся части ракеты в момент t + Δt, λ (dm/dt) Δt v(t) — импульс отброшенной структурной массы за время Δt и (1 — λ) (dm/dt) Δt (v — u) — импульс отдачи ракетной струи. Параметр (dm/dt) — характеризует скорость убывания массы со временем. Знак минус у (dm/dt) говорит о том, что со временем масса уменьшается. Учитывая, что

получим при Δt→0

Интегрируя по времени окончательно имеем

Как показывает эта формула при заданных значениях величин u и λ полезный груз может быть ускорен до любой скорости, это достигается стремительным увеличение отношения m₀/m_p.

Результаты участников можно посмотреть здесь.