Астрозадача №9: Точки Лагранжа

Точки Лагранжа или точки либрации — точки в системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействие никаких других сил, кроме гравитационных, со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел. Точки Лагранжа получили своё название в честь математика Жозефа Луи Лагранжа, который первым в 1772 году привёл решение математической задачи, из которого следовало существование этих особых точек.

В настоящее время точки Лагранжа широко используются человечеством, например, в точке L1 системы Земля — Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию — она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит, наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L2 подходит для космического телескопа — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L2 неосвещённой стороной. Точка L1 системы Земля — Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращённого к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землёй. В настоящее время несколько космических аппаратов, в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы.

Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L1, L2 и L3. Точки L4 и L5 называются треугольными или троянскими. Точки L1, L2, L3 являются точками неустойчивого равновесия, т.е. объекты, находящиеся в этих точках со временем, могут их покинуть. В точках L4 и L5 равновесие наиболее устойчивое.

Чтобы рассчитать расстояние от Солнца до точек Лагранжа, надо воспользоваться формулами:

где R — расстояние от Солнца до планеты (или какого-либо другого тела, относительно которого рассматриваются точки), M — масса Солнца, m — масса планеты.

В качестве задачи требуется смоделировать движения пяти объектов, пренебрежимо малой массы, находящихся в точках Лагранжа системы Солнце-Юпитер.