Астрозадача №3: Объект в гравитационном поле чёрной дыры

В конце XIX – начале XX века главной теорией, описывающей гравитационное взаимодействие, была классическая теория тяготения Ньютона, разработанная им в 1666 года. Это теория работала, но обладала недостатками, например, не было понятно, посредством чего передаётся гравитационное взаимодействие в пустом пространстве, также теория не описывала такое явление, как смещение перигелия Меркурия и другие. Эти недостатки побуждали физиков разрабатывать новые теории.

Одним из первых, у кого получилось пересмотреть концепцию пространства-времени был Альберт Эйнштейн, в своей работе «специальная теория относительности» он говорил о постоянстве скорости света и принципе относительности. В последствие Эйнштейн опубликовал свою общую теорию относительности (ОТО), которая уже описывала гравитационные поля. ОТО решила проблемы ньютоновской теории и предсказала новые явления в физики пространства-времени.

Целью задачи является моделирование смещения перигелия, но так как для Меркурия величина смещения равна ≈ 574.1″ за 100 лет (т.е. чтобы увидеть смещение хотя бы на 10°, понадобиться промоделировать более 6 тысяч лет), поэтому мы будем рассматривать смещения перигелия объекта в гравитационном поле массивной чёрной дыры.

Движение частицы в поле черной дыры описывается уравнениями:

Здесь v_r – компонента скорости вдоль радиального направления (в центре полярной системы координат находится черная дыра), r – расстояние от центра, r_g — гравитационный радиус черной дыры (равный 2GM/c², где M – масса черной дыры, c – скорость света), φ – угловая координата частицы. Постоянная l имеет смысл момента импульса на единицу массы частицы.

Для эллиптической орбиты момент импульса на единицу массы равен:

где p — фокальный параметр, определяющийся по формуле p = a⋅(1 — e²) с большой полуосью эллипса a и эксцентриситет e. Также можно определить период обращения T объекта по формуле:

Промоделируйте движение объекта с параметрами орбиты: a = 20 a.e. и e = 0.8, в течение 85 периодов обращения вокруг чёрной дыры массой равной 5·10⁶ M_☉. В качестве начальных условий задаются r(0) = Q, v_r(0) = 0 и φ(0) = 0. Где Q это апоцентр эллиптической орбиты, который можно вычислить по формуле: Q = a·(1 + e).

Результатом выполненной задачи должна быть анимация движения объекта.